직선운동에서 위치와 변위, 속도와 가속도, 등가속도 운동 공식

대표적인 등가속도 운동(자유낙하 운동)

직선으로 움직이는 운동에 대한 기본적인 물리학(1차원 운동)

 

위치와 변위

위치

• 물체의 위치는 어떤 기준점에 대한 상대적 위치를 나타냅니다. 기준점을 원점(0)이라고 할 때 기준점에서 오른쪽으로 향하면 양의방향, 왼쪽으로 향하면 음의방향이 됩니다. 예를 들어 물체가 x = 5m 위치에 있다면 물체는 원점으로부터 5만큼 떨어진 곳에 있다는 뜻입니다. 만약 x = -5m 위치에 있다면 원점으로부터 음의 방향으로 5m 떨어진 곳에 있다는 뜻입니다. 
• 양의 부호는 표기할 필요가 없지만 음의 부호는 반드시 표기해야 합니다.

변위

• 위치 $x_1$에서 다른 위치 $x_2$까지의 거리를 변위라고 합니다. 변위는 다음과 같이 표기합니다. $$\Delta x = x_2 - x_1$$
• 변위는 처음 위치와 나중 위치로 결정되므로 실제로 움직인 거리와는 상관이 없습니다. 예를 들어서 입자가 $x=5$m에서 $x=200$m로 움직였다가 다시 $x=5$m 위치로 되돌아온다면 출발점에서 도착점까지의 변위는 $\Delta x = 5 - 5 = 0$ 이 됩니다.
• 변위에서 양의 부호는 표기할 필요가 없지만 음의 부호는 반드시 표기해야 합니다. 변위는 방향과 크기를 갖는 벡터량입니다. 

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평균속도와 평균속력

물리에서는 빠르기를 측정할 때 속도와 속력 두 가지 개념으로 측정합니다.

 

평균속도

• 평균속도는 특정한 시간간격 동안의 변위의 비율로 나타내고 식을 다음과 같이 씁니다. $$v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$
• 여기서 시간 $t_1$일 때 위치는 $x_1$이고 시간 $t_2$일때 위치는 $x_2$입니다. $v_{avg}$의 단위는 m/s 입니다. 속도는 항상 [길이/시간] 형태입니다.
• 평균속도는 변위와 마찬가지로 크기와 방향을 갖는 벡터량입니다. $\Delta t$는 항상 양수이므로 평균속도 $v_{avg}$의 부호는 변위 $\Delta x$와 같은 부호를 가집니다.

평균속력

• 평균속도는 변위를 포함하지만 평균속력은 방향을 고려하지 않고 움직인 전체 거리로 표기합니다. $$s_{avg} = \frac{총\ 거리}{\Delta t}$$
• 부호만 뺀다면 평균속도와 평균속력이 같은 경우가 많습니다. 하지만 두 값이 전혀 다를 때도 있습니다.

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순간속도와 순간속력

순간속도

• 물체가 주어진 순간에 얼마나 빨리 움직이고 있는가를 나타내는 것이 순간속도(간단히 속도) $v$라고 합니다.
• 어느 시점의 순간 속도는 시간간격 $\Delta t$가 0에 접근할 때의 평균속도로 구할 수 있습니다. $\Delta t$가 점점 작아짐에 따라 평균속도는 극한값으로 접근하게 되는데 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다. $$v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$
• 순간속도 $v$는 시간 $t$에 대한 $x$의 미분입니다.
• 어느 순간의 $v$는 위치-시간 곡선에서 그 순간을 나타내는 점에서의 기울기입니다.
• 순간속도도 벡터량이므로 크기와 방향을 가집니다.

순간속력

• 속력은 속도의 크기입니다. 즉, 속력은 방향을 무시한 속도를 말합니다.(속력과 평균속력은 완전히 다를 수 있습니다.)

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가속도

• 물체의 속도가 변할 때 물체는 가속도 운동을 합니다. 한 축을 따라 움직일 때 시간간격 $\Delta t$ 동안 평균가속도 $a_{avg}$는 다음과 같습니다. $$a_{avg} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
• 순간가속도(간단히 가속도)는 시간에 대한 속도의 미분함수로 다음과 같습니다. $$a = \frac{dv}{dt}$$
• 위에 속도에 대한 식과 가속도에 대한 식을 결합하면 다음과 같습니다. $$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt}) = \frac{d^2x}{dt^2}$$

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등가속도 운동 공식

기본식1

• 가속도가 일정할 때 평균가속도와 순간가속도는 같고 가속도 식을 아래처럼 쓸 수 있습니다. $$a = a_{avg} = \frac{v - v_0}{t - 0}$$ 여기서 $v_0$는 시간 $t = 0$에서의 속도이고 $v$는 이 이후 시간 $t$에서의 속도입니다. 이 식은 아래와 같이 표기할 수 있습니다. $$v = v_0 + at$$

기본식2

• 같은 방법으로 평균속도에 대한 식을 다시 쓰면 $$v_{avg} = \frac{x - x_0}{t - 0}$$ 이 식을 통해서 다음 식을 얻습니다. $$x = x_0 + v_{avg}t$$ 여기서 $x_0$는 $t = 0$에서 물체의 위치이며 $v_{avg}$는 $t = 0$과 나중 시간 $t$ 사이의 평균속도입니다. 
• $t = 0$에서 나중 시간 $t$까지의 평균속도는 시작점 속도와 끝점 속도의 평균값입니다. 평균속도를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $$v_{avg} = \frac{1}{2}(v_0 + v)$$ 이 식으 기본식1에 대입하여 정리하면 $$v_{avg} = v_0 + \frac{1}{2}at$$ 가 됩니다. 이 식을 $x$에 대한 식에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다. $$x - x_0 = v_0t + \frac{1}{2}at^2$$

나머지 식

• 위에서 정리한 식들을 활용하여 $t$를 제거한 식으로 나타내면 $$v^2 = {v_0}^2 + 2a(x - x_0)$$
• 가속도 $a$를 없애면 $$x - x_0 = \frac{1}{2}(v_0 + v)t$$
• $v_0$를 없애면 $$x - x_0 = vt - \frac{1}{2}at^2$$

 

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직선운동에서 위치와 변위, 속력과 속도, 가속도에 대해 알아봤습니다.

등가속도 직선운동에서 운동방정식을 정의해보았습니다.

변위와 가속도는 크기와 방향을 가진 벡터량이라고 했는데요.

벡터에 대한 개념을 이해하면 크기와 방향을 좌표에 표시할 수 있습니다.

또한 벡터를 이용하여 2차원, 3차원 운동에서의 방정식을 구할 수 있습니다.