수소원자의 에너지는 왜 -13.6eV 일까?(feat.보어의 원자모형)

수소원자의 에너지는 전자가 가진 역학적 에너지와 같습니다. 따라서 아래와 같은 수식을 만들 수 있어요.

 

E = K + U

K: 전자의 운동에너지

U: 전자-핵 계에서 전기 퍼텐셜 에너지

 

1) 전기 퍼텐셜 에너지

중력 퍼텐셜 에너지는

“중력장 내에서 물체가 기준배열 a에서 특정위치 b로 움직일 때 중력이 한 일" 로 정의할 수 있습니다.

 

그렇다면 전기 퍼텐셜 에너지는

“전기장 내에서 전하를 띤 입자가 기준배열 a에서 특정위치 b로 움직일 때 전기력이 한 일” 이라고 정의할 수 있습니다.

따라서 전기력이 한 일을 구하면 전기 퍼텐셜 에너지를 구할 수가 있겠죠

전기력은 쿨롱의 법칙을 이용하여 구할 수 있습니다.

그 다음 일을 구해봅시다. 일은 힘 x 이동거리죠. 전하가 q1인 입자가 q2인 물체 쪽으로 기준배열 a에서 b까지 이동한 거리를 구하는 방법은 적분을 활용하면 됩니다. 여기서 q2인 입자는 고정되어 있다고 가정합니다.

쿨롱의 법칙으로 구한 전기력을 거리에 대하여 적분하면 아래와 같이 됩니다.

위 식에서 힘의 방향은 (-)가 됩니다. 입자 q1이 q2로부터 받는 힘의 방향은 r 방향이지만, 입자 q1을 거리 R지점까지 가져오는 힘의 방향은 r의 반대방향이기 때문에 (-) 방향이 됩니다.

 

여기에 값을 대입해봅시다. 수소 원자에서 전자의 전하는 -e 양성자의 전하는 e입니다. 그리고 기준배열(퍼텐셜에너지가 0인 지점)을 무한히 먼 곳으로 잡고 특정위치를 R로 하면 1/a = 0 이 되죠. 따라서 위 식을 정리하면

 

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2) 전자의 운동에너지

운동에너지는 물체의 질량과 속도와 연관이 있죠.

전자의 운동에너지를 알기 위해서는 전자의 속도를 알아내야 합니다.

속도를 알아내기 위해서는 전자가 어떻게 운동하는지를 알아야하죠.

저는 여기에 보어의 수소원자모형을 가지고 설명을 하겠습니다.

 

▶보어의 가정

(1) 수소원자의 전자는 핵 주위를 원형궤도를 따라 공전한다.

(2) 공전하는 전자의 각 운동량 L 은 다음의 값만 가진다. (n은 주양자수)

전자는 반지름이 R인 원형궤도를 따라 등속원운동을 하므로 구심가속도$a = \frac{v^2}{R}$ 를 가진 구심력이 작용합니다. 이 힘은 양성자와 전자 사이의 전기력이기도 합니다. 따라서 뉴턴의 제2법칙을 활용해서 식을 정리하면 다음과 같습니다. 전자의 전하가 (-)이므로 힘의 방향이 (-)를 띄게 됩니다. F = ma에서 힘의 방향은 가속도의 방향과 같기 때문에 전기력의 방향과 구심력의 방향을 같게하기 위해서 가속도에 (-)를 붙였습니다.

 

위 식에 양성자, 전자의 전하를 대입하고 운동에너지 공식으로 정리하면

 

이를 역학적 에너지 E 에 대입하고 정리하면 다음과 같습니다.

위 식에서 이제 R에 대한 정보만 알면 에너지를 구할 수 있습니다.

R은 보어의 가정 2번을 활용해서 구할 수 있습니다.

전자는 핵 주위를 반지름 R, 속력 v로 돌고 있으므로 각운동량은 Rmv가 됩니다. 따라서

 

$\hbar = \frac{h}{2\pi}$ , 속력 v를 식 ①에 대입하고 이를 R에 대한 식으로 정리하면

이를 식 ②에 대입하고 정리합니다.

위 식에서 상수값을 대입하고 정리하면 다음과 같은 결과가 됩니다.

여기서 주양자수 n = 1인 수소원자의 에너지는 -13.61eV가 됩니다.

 

 

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